Fiche n°0 : Démonstrations de maths

Voici une liste des démonstrations de maths à savoir pour le bac S, la liste n'est pas encore complète.

1/ Pour tout nmb α>0 et pour tout n є ℕ, (1+α)n > 1+αn

Þ    Démonstration par récurrence

Initialisation : n=0

On a : (1+α)0 =1 (car α>0) et 1+0α=1

On a bien 1≥1 donc P(0) est vraie.

Hérédité :

                On suppose que (1+α)k ≥ 1+kα

                On veut démontrer que (1+α)k+1 ≥ 1+(k+1)α

                On sait que (1+α)k ≥ 1+kα

                   (1+α) × (1+α) ≥ (1+kα) × (1+α)

Démontrons que : (1+kα) × (1+α) = 1+ α + kα + kα²

                                                                     = 1+ α(1+k) + kα²

Or, k étant un entier naturel il est positif donc kα²>0.

Alors, 1 + α(1+kα) + kα² ≥ 1 + α(1+k)

Par conséquent, (1+α)k+1 ≥ 1+(k+1)α  CQFD !

L’hérédité est vérifiée.

Conclusion :

            Α étant un réel positif fixé, pour tout n є ℕ, (1+α)n≥1+nα.

2/ Limite de qn pour q>1 alors lim(n→+∞) qn=+∞

Þ    Démonstration utilisant la précédente

 

§  Comme q>1, on peut écrire que q=1+α où αest un réel fixé >0.

Ainsi qn=(1+α)n.

§  Or pour tout n є ℕ, qn=(1+α)n ≥ 1+nα

§  Or lim(n→+∞) n= +∞, comme α>0 par produit

 lim(n→+∞) nα = +∞, alors par somme, lim(n→+∞) 1+nα = +∞.

§  Alors d’après l’un des théorèmes de comparaison      lim(n→+∞) (1+nα)n = +∞ c.à.d  lim(n→+∞) qn = +∞. CQFD !

 

3/ Théorème de comparaison en lim=+

Þ    Démonstration

§  Comme (vn) a pour limite +∞, pour tout A, il existe un rang k tel que pour tout n≥k, vn≥A.

§  On sait aussi que pour tout n≥p, un≥vn.

§  Ainsi, pour tout nmb A, il existe un rang k’ qui est égal au plus grand entier entre k et p tel que pour tout n≥k’, un≥vn>A donc un>A.

§  D’après la définition d’une suite ayant pour limite +∞, on peut affirmer que limn→+∞ un=+∞ CQFD !

4/ Si A et B sont indépendants alors A et B aussi

Þ    Démonstration

§  Si A et B sont indépendants alors, p(A∩B) = p(A)×p(B).

§  On sait que p(B)=p(A∩B) + p(A∩B) donc p(A∩B)=p(B)-p(A∩B), on obtient, p(A∩B)=p(B)-p(A)×p(B)

                                      =p(B)×(1-p(A))

§  Or 1-p(A)=p(A) donc, p(A∩B)= p(B)×p(A) donc d’après la definition A et B sont indépendants. CQFD !

§  Réciproquement, si A et B sont indépendants on démontre avec une démarche analogue que p(A∩B)=p(A)×p(B)

5/ Théorème de la bijection

Þ    Démonstration

§  Comme f est continue sur [a ;b], le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer que pour tout réel k dans [f(a) ;f(b)] ou bien [f(b) ;f(a)] , l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a ;b].

§  Supposons qu’il existe au moins 2 solutions distinctes, on nomme x1 et x2 2 de ces solutions. On a alors f(x1)=k et f(x2)=k, donc f(x1)=f(x2). Supposons que x1≤x2

§  - Si f est strictement croissante sur [a ; b] alors on aurait f(x1)<f(x2).

- Si f est strictement décroissante sur [a ; b] alors on aurait f(x2)<f(x1).

§  Peu importe le cas, on ne peut pas avoir f(x1)=f(x2), l’équation f(x)=k admet donc une unique solution. CQFD !

6/ Toute suite croissante non-majorée a pour limite +

Þ    Démonstration

§  Comme (un) est non-majorée, pour tout nmb A, il existe au moins un entier p tel que up>A.

§  Or la suite (un) est croissante donc pour tout n≥p, un≥up>A.

§  Il existe donc pour tout nmb A un entier naturel p tel que pour tout n≥p, un>A ; ainsi par définition, limn→+∞ un=+∞. CQFD !

7/ Le conjugué d’une somme est la somme des conj.

 

Þ    Démonstration  ----> contient des formules non reconnu par l'éditeur de texte de ce site, pour la visionner veuillez télécharger le fichier.

8/ Le conjugué d’un produit  est  le produit des conj.

 

Þ    Démonstration ----> contient des formules non reconnu par l'éditeur de texte de ce site, pour la visionner veuillez télécharger le fichier.

9/ Le conj. de zn est le conj. de z a la puissance n.

 

Þ    Démonstration par récurence pour tout n∈ℕ et z≠0 ----> contient des formules non reconnu par l'éditeur de texte de ce site, pour la visionner veuillez télécharger le fichier.

10/ Unicité de la fonction f tel que f’(x)=f(x) et f(0)=1.

Þ    Démonstration, On admet l’existence de cette fonction et on démontre qu’elle est unique.

§Soit f une solution de (E) avec f(0)=1. On considère la fonction h tel que h(x)=f(x)×f(-x).

§  On calcul h’(x), soit la dérivée d’un produit :

h’(x)=f’(x)×f(-x)+f(x)×(-f’(-x))

§  Or f est solution de (E) donc f’(x)=f(x) et f’(-x)=f(-x) , alors

h’(x)=f(x)×f(-x)+f(x)×(-f(-x))

         h’(x)= f(x)×f(-x)-f(x)×f(-x)

         h’(x)=0

§  D’après un théorème de cours, on peut affirmer que la fonction h est constante sur ℝ donc pour tout x, h(x)=constante qui est l’image de n’importe quel réel par la fonction h.

§  Or h(0)=f(0)×f(-0)  or f(0)=1

           =1×1=1

§  Pour tout réel x, on a donc f(x)×f(-x)=1, ceci permet d’affirmer que f ne s’annule pas sur ℝ.

§  En effet, s’il existe une réel c tel que f(c)=0, on aurait f(c)×f(-c)=0

Or cette égalité est en contradiction avec l’égalité f(c)×f(-c)=1.

On suppose qu’il existe une deuxième solution g telle que g’(x)=g(x) et g(0)=1 (comme f la fonction ne s’annule pas sur ℝ)

§  On considère alors la fonction l telle que l(x)=f(x)/g(x)

§  On calcul  l'(x)=(f'(x)×g(x)-f(x)×g'(x))/g²(x), or f et g sont solution de (E) donc :  

                       l'(x)= 0.

§  Ainsi pour tout x, l’(x)=0 donc, l(x)=constante, c’est l’image de n’importe quel nmb x par l.

§  Or l(0)=f(0)/g(0)

      =1/1=1

 

§  Ainsi, pour tout réel x, f(x)/g(x)=1 ó f(x)=g(x), l’unicité est donc démontrée. CQFD !

11/ Limite en +et -de ex.

Þ    Démonstration de limx→+∞ ex=+∞.

§  On étudie les variations de g(x)=ex-x définie sur [0 ;+∞[.

§  On a g’(x)=ex-1, or ici x≥0, donc ex≥1, ainsi ex-1>0, d’où le tableau de variation de g :

 or g(0)=e0-0=1

§  Ainsi, on peut affirmer que pour tout x∈[0 ;+∞[, g(x)≥1 or 1≥0 donc g(x)≥0

§  On a donc pour tout x∈[a ;+∞[, ex≥x, or limx→+∞ x=+∞

§  Ainsi, grâce au théorème de comparaison on en conclut que or limx→+∞ ex=+∞   CQFD !

 

Þ    Démonstration de limx→-∞ ex=0.

§  On considère x qui tend vers -∞, posons X=-x, alors X  tend vers +∞.

§  On a alors ex=e(-X)=1/eX

§  Ainsi, limx→-∞ ex = limx→+∞ 1/eX

 

§  Or  limX→+∞ 1/eX=+∞ donc limx→-∞ ex=0  CQFD !

Remarque : il faut aussi savoir démontrer d’autres propriétés de la fonction exponentiel comme ex×e-x=1 grâce à ea×eb=ea+b et e0=1, etc .

12/ Limite en 0 de sin(x)/x =1

Þ    Démonstration

§  On considère la fonction f tel que f(x)=sin(x).

§  On sait que f  est dérivable en 0 tel que f’(x)=cos(x) donc f’(0)=cos(0)=1

§  Alors avec le rappel précédent, on peut affirmer que Limx→0 (sin(x)-sin(0))/(x-0)=1 équivaut à Limx→0 sin(x)/x=1. CQFD !

 

 

 

13/ Limite en 0 de (cos(x)-1)/x =0

Þ    Démonstration

§  On considère la fonction f tel que f(x)=cos(x).

§  On sait que f  est dérivable en 0 tel que f’(x)=-sin(x) donc     f’(0)=-sin(0)=0

§  Alors avec le rappel précédent , on peut affirmer que Limx→0(cos(x)-cos(0))/(x-0)=0  ce qui équivaut à Limx→0(cos(x)-1)/x=0 CQFD !

 

 

 


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